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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 3;e]a=  
\nT>PC[c  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. +Q+Wp #q_  
h>`cX?iH  
　　1、三角函数本质： V,>`=  
6u4_eF-  
　　三角函数的本质来源于定义 &X/2!  
p+-U\,0S  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 9l4ZVOg  
f{*5GotV  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 :ik;#W4b w  
]mQ>":+w-  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： vXGvyltZZ  
&>-(fU X\  
　　推导： 9e3N?JQ)e?  
sMY9dxt#Ku  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 "eU"OmbJ&  
tswt\B2[  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) D2D(Hl<S  
UsRr?JC-  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) /\KZUG}3  
2~-]~[{z  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 T;do0h<s  
&{*a=i4  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） q sF1v<Q  
?b 2 Qn  
　　[1] gK3F} m  
2+=sL:,E.r  
　　两角和公式 B;{\}l Z  
aP|uNLV!<6  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB P,]Jwa`v  
Os RgMuq  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  K<oAzz\U$  
Wi deG  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB s"n]q ;  
=]C<cpW{  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB q}"J+.]A  
Sv8l)-OM  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)  rj[e[~  
Q2Vx~=  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) MXkD6gWX  
sK5Z~"%`'  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Co"2pVY  
}Ki{]j j  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 8beba *%  
IrEBl{*  
倍角公式 v: /e8p7  
uO4n~px  
　　Sin2A=2SinA•CosA Ds!1d/N 9  
n B:e+'dG  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 >H4f8<5jD  
!%b 8q`K  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） {>TM5iN?  
>3iJcn;  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） s33GU *  
@1 a}f M  
三倍角公式 b<hu &  
2G3<g+  
　　 e4{]D  
^ [*  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) e1IRR`L6  
(Z3oRg  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) [ Bg4~  
CSoQ `L;jp  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Hc [>#};Ge  
Sl6z,m{ou  
三倍角公式推导 8 h] 6'  
A>?4;_,6>  
　　sin3a _\FMS+)y  
`cXOdY1  
　　=sin(2a+a) h_\[8:  
h K8x<J>5w  
　　=sin2acosa+cos2asina yL_.<^-.EF  
A[/3zmLp#:  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina jCoFF`H@  
%\DL_o<  
　　=3sina-4sin³a f>x+9apIg_  
G:>"NVf5pM  
　　cos3a G<&J- H U  
9>R0TN~@  
　　=cos(2a+a) Jzu-eQC   
>\]UjY9V*  
　　=cos2acosa-sin2asina O44,  
S4@SNP#B  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa F.T/y|At-  
/t \cp+eD  
　　=4cos³a-3cosa YOYgHc,@  
IUA   
　　sin3a=3sina-4sin³a UmwIhV/f  
6E];Bs\  
　　=4sina(3/4-sin²a) ij-pH`0  
,O4h  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] :2\X S  
eVvD.  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) h|s.,H8D  
"JBhtJJr  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) H29-V-.`\  
Od77/)L-  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] n~U! J }  
"(S?}$5o  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) m5SB  
9J~I][  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ]}W U4nk  
f$*k16l  
　　=4cosa(cos²a-3/4) l)y3L2B}|  
~VqI5[,  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ~m ``T_ >  
D,xtRN  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) $ /l u+  
)o V_lC  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) \T'lCP  
&;q?L~;*  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Hw=K/ KO  
hlByT))Vd  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) :>hD t=DB  
8&lNVy,u?h  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] AV44  
1R3m61vfo  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 5A8Utkb  
2G9_\m+t  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) AN9px6  
Wh|R_}.  
　　上述两式相比可得 '0KE*c: `4  
|j);(SG~  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) l0%)GdR@U  
H<Bi  
半角公式 4[d`FIHH  
Hs6].T  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); CaP@u(2Hy  
Fh`!9xT>  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 3TOD  
hD[sR;?4h  
和差化积 ]xv$_4f`  
HzTR HiO  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] RS[B9$  
AWbDw6  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] dZtO0qo  
"#(EJ?7,  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] fwC}F;JY?=  
zmuBwP r&  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] gXW%jkc  
)leT5,mP{\  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) '\5KM[&$&  
vugrV.>?  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) i<b4%F[t~  
X I=TDy=   
积化和差 9* %p9sV70  
y)IP&**  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] @<R#x   
]&kgn|  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] xp-   
_>S\ &A  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] /JHaE  
n.[<>mtW"  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ~],F i7X8  
8|O.GO  
诱导公式 2H u!NVbY  
uGD#io=  
　　sin(-α) = -sinα p8b4[\S& G  
g61h Y/  
　　cos(-α) = cosα '-(VOu=8  
`r6~nW"tol  
　　sin(π/2-α) = cosα -p:  
b x @t'R  
　　cos(π/2-α) = sinα 0^P;a*3=  
L8R&GD  
　　sin(π/2+α) = cosα !43R+P  
X%j,$  
　　cos(π/2+α) = -sinα ["D:r!3\  
[q v ;5  
　　sin(π-α) = sinα .n]Vo@  
`yHQ\+U!G  
　　cos(π-α) = -cosα \#tHh5n  
l@AM@;L  
　　sin(π+α) = -sinα <6K69*kw  
1 83w|[R1  
　　cos(π+α) = -cosα G2i.b31  
=PQ.E0l  
　　tanA= sinA/cosA 3Qb0FV6Jt  
V%@[ tj  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα o;)R"d E  
*H fEU6P  
　　tan（π/2－α）＝cotα !G,:&  
5OHm*fJfd  
　　tan（π－α）＝－tanα # C/@"Iq  
48rjz6"  
　　tan（π＋α）＝tanα \^$fZd3LL  
[W2JjUrnBb  
万能公式 `CT|JLx  
C>hI=R|j  
　　 HhC6H(jc  
Afl)gJ  
其它公式 7 9 r-K  
[<z)?7%y  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 X/X}bp,  
R '*+|-d  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 _k;&5{dm  
W20 wC3+?  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 pU@NV4  
r~=G#q}e  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 }~ 3! %H  
u.% Haqh(  
　　对于任意非直角三角形,总有 b%"8N 4Q  
gcEO -&C  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9s[R]8  
;B*!WUgQ  
　　证: F4kYXt#_L6  
_ vi!-4@  
　　A+B=π-C @ </49 w  
K$?hg"o  
　　tan(A+B)=tan(π-C) LtSOL5mR  
7"{RrI&L  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) !C+W$|  
S*P^>:Z  
　　整理可得 n(C8k9Y  
hEwh)l"  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC PjR\iS6  
vX# N$_+  
　　得证 J e=9]/Wv  
mxkiCy4v  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 [tU}d  
]?4M)  
其他非重点三角函数 B` sq='  
(9kN98&  
　　csc(a) = 1/sin(a) CF&lmO^g  
D jh"w g  
　　sec(a) = 1/cos(a) {7 Kc  
<ZPu5U}OE  
　　 &8LHRCz  
s14H6JR  
双曲函数  w 0mAP  
bK3zP"  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 4(\Q)`i  
ER@9>GNv  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 P]_n$/%Q  
+f 91O S  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) (u?EIA<F  
NHStNfOv  
　　公式一： S]DnU"(  
2a;kJ^Q  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： v}ld;B=c  
72%k(W=  
　　sin（2kπ＋α）= sinα vhl  I:  
F<'$CtO  
　　cos（2kπ＋α）= cosα \kG>9@g*`s  
\^C Z17  
　　tan（kπ＋α）= tanα 7?C.MqBn:n  
(Kp  
　　cot（kπ＋α）= cotα h t5Wc  
aiy$|m\9Ww  
　　公式二： OFd ^F@  
TyV 95dUFW  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： V0c&]UenJ  
<}pRt.&  
　　sin（π＋α）= -sinα ,A82YtQ)  
oc6Ho[<iM  
　　cos（π＋α）= -cosα c lv2  
MTY`6fy  
　　tan（π＋α）= tanα 8d!CPve  
)|Wrgb  
　　cot（π＋α）= cotα cFZE  
SAg\|KHC@  
　　公式三： "N/$[F?8  
%g,_wO]}N  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： { vc#EdyI  
DZD\q!\iK  
　　sin（-α）= -sinα N7RgO  
4,JNcV  
　　cos（-α）= cosα 8ll.k["E71  
0m1 }D0  
　　tan（-α）= -tanα <PoKewUI  
Nnmuv$=;Vx  
　　cot（-α）= -cotα h78i_q  
.;h dp  
　　公式四：  =qczsu(.  
9iG+#YI*  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： RU?T<o,X  
cd)ucC  
　　sin（π-α）= sinα 086AZI  
0,OIUu/  
　　cos（π-α）= -cosα 8Hr )  
PEwhF=d=/  
　　tan（π-α）= -tanα = E"3nDfk  
h`,xoR>  
　　cot（π-α）= -cotα 8B$'!_5r}  
p\oXc02vF  
　　公式五： ..$(2o  
`SU'GlN;  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： m-BioDZNS  
SLW/0:ZA`'  
　　sin（2π-α）= -sinα 61KC/J G  
\CN9MUUW7d  
　　cos（2π-α）= cosα 3Gm?.z  
.@$/w  
　　tan（2π-α）= -tanα T6/b>P  
pVS `WB88:  
　　cot（2π-α）= -cotα ;;|0+aw/n  
%n\c OhW  
　　公式六： 3Bz6{M)&  
%efU:p^Ai  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： zpF%K6V  
eqx??r3!  
　　sin（π/2+α）= cosα 2 .z B4x  
1XPt9k0f  
　　cos（π/2+α）= -sinα Bj sBS}F\d  
< YxUP!y  
　　tan（π/2+α）= -cotα l~NM .)!  
WSMeD7m  
　　cot（π/2+α）= -tanα `^c> &6  
`nMi(-.  
　　sin（π/2-α）= cosα %9 `}YZoE&  
F#`Ua$<   
　　cos（π/2-α）= sinα FKb."qLG j  
vAajH4  
　　tan（π/2-α）= cotα vNx&CAn;  
tewi>W  
　　cot（π/2-α）= tanα |ZJ.mkJX  
'& @h~l  
　　sin（3π/2+α）= -cosα mQ<9 w'0u&  
~q)gda@+  
　　cos（3π/2+α）= sinα UA$4f~zTT  
ZK.f1m=  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Wy@9,}RoH  
Cs{*z$  
　　cot（3π/2+α）= -tanα $Wou.^h'  
&2"X8  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 2#!=("o  
>R2P;{rQ  
　　cos（3π/2-α）= -sinα #H:  
\mCHT#3'hT  
　　tan（3π/2-α）= cotα  IIIe  
mI iU2d}  
　　cot（3π/2-α）= tanα 5^_ G<YP  
F7vY  
　　(以上k∈Z) ^m ,$  
a$~gK}>D~  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Y%vMCT:%  
_,7vaj/gA  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = IQ#Hz\;I(  
; 0 %mJ  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 9sZh5#lP  
2 wzr#A  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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