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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 1bR$:GC=*  
emdN53j  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. '0"Hlx(e  
d!I?W=U_  
　　1、三角函数本质： a;vZ$HbE@  
L_|!Y@,@  
　　三角函数的本质来源于定义 UDtakDy,  
`xpD,kjE_T  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 >O,:&]H}f  
p Cg{F<*  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 7uK0nlxk  
=wzE> w  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： HZw! Z3/  
WN%wd^+y  
　　推导： c /1t~d@  
BQ LX1c  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 (mdjZec  
iEp6l`5#6  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) rIg2 5Pn  
4p57u i  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) }dz$2"5  
*7J(GwEC  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 4{q6-|w  
zW\\} w  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） e R(|1}\t  
`. (W  
　　[1] `ByXi"Cpc  
y ){Mn5   
　　两角和公式 XOy" _%AT  
StcO f[2t  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ^,!8w@  
^o}~  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ` wk_S{=pJ  
xeJqYV  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Gff }Ldgp  
k5ojd!w`MK  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB EG/-Tz6<  
f;i6Q.2  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) A-C8c;:H|E  
&qrg!Cu  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cpsBa%aJ  
syGlYQS}8  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  lwtVXcEJS  
bknv=U.  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) =`=X1^7Z5+  
--T^;wv*"u  
倍角公式 P8^4![- vz  
eA\8?"Wvk  
　　Sin2A=2SinA•CosA 6b'LSFw~O  
Y2`zRuY  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 kC63NmUU  
\"3\q)  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ?K-3E?KNt6  
l+rQm [1  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） q T*{M9  
,t1 }g  
三倍角公式 Hs2Dd5^  
{E-=?Ss}  
　　 9.j:,)&o  
E&65X0j  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) t=)v*O  
/6$mr7.  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) mmvCy<.  
nU&wqkVj  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) R_CFmyd.  
?lhgzHyy  
三倍角公式推导 ; pltf  
Dp}4&Q  
　　sin3a /o1 eiU  
>L!_VouW  
　　=sin(2a+a) qYYrsqJqC  
=I\)tT  
　　=sin2acosa+cos2asina nw='>Z  
AqIWVfu  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina N9`a]VZ^  
8In[/[t  
　　=3sina-4sin³a /Nvxc6U3B  
d KR})9<  
　　cos3a %:rV =  
<:S(7t  
　　=cos(2a+a) .w,}V,UX  
;| iHO _.a  
　　=cos2acosa-sin2asina MMdm@'  
nb5>TL8  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa S0Q*m).o h  
h24uV nEm  
　　=4cos³a-3cosa 5gyZ(iYc`  
k2.lHX 6  
　　sin3a=3sina-4sin³a VH, PWVrSi  
$+dT>uz  
　　=4sina(3/4-sin²a) jB[xd  
Uw,42C0Fx  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ^'pxD[jE,  
vs Hgc  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 3}X?%7)-  
T$*#,W  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) #._(s~a  
^*!XoK5$  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Q?#>bHZ6  
E*uj ^/5B`  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 0XEwT`7re  
B?fR 7m-  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Xn?g[LmLN  
`'3xQwdQF  
　　=4cosa(cos²a-3/4) eV$K9<T  
4F[: >6 >[  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] gZmOBt*\  
v V3NYHLLY  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) wb6{dD  
9K:dugB  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) z ,&u qM  
y07 \?D@tU  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} nbT 'juT  
_ YF0(K,B`  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) >x{?:8Cqc  
{ p[^6Q  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ovM}I".Aj  
 ZimD5B[  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ]<'MF!o  
* :6BO#  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) <IC.)e  
Be6t{Kd)  
　　上述两式相比可得 4? })" at  
-u:]^gLN  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Z@6g>b 2#  
E7n hf<FPe  
半角公式 *\d]?=%.  
;Il]lQhd  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); =]AVtjW  
U$(>?%y(  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. vO\g-7  
q4/4a[j`  
和差化积 bKMTul  
RXy M  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] M3YypTA;C  
;yKZKe{  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  pgz9^ #  
*$ z T ]  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 0/,f 9G&B  
.*0.B$\a v  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] POrJ<  
bCR]!ye5R  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) MK3Uh!  
=eXH~\&9:  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) sj>SdW82H,  
 Gs[>G~  
积化和差 ExMsO;a  
V|l M^P0  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] \&oR_=)  
Et+h>AN=  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] g"bNS%dVl  
+SuKbaq"~  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] x :|9G9;  
`b59u-?  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] `%.7%m \  
*oa\es -W  
诱导公式 H9PHK+KI  
+i&8>fu  
　　sin(-α) = -sinα FSi!J"+hr  
92i $=2  
　　cos(-α) = cosα bPe'}v 5  
LR254a T  
　　sin(π/2-α) = cosα {CL\Ef_3  
44hl_|'  
　　cos(π/2-α) = sinα 2,;%JFf}  
$q-Y~?hzd  
　　sin(π/2+α) = cosα uD?(Z"0`f  
_3<[3#$:  
　　cos(π/2+α) = -sinα ;?%UCjak  
v_m,l44  
　　sin(π-α) = sinα lD+WgPF  
4hlaX\]  
　　cos(π-α) = -cosα f qgLFua}  
'O#d>|  
　　sin(π+α) = -sinα +<x=:F  
.RO=d*:  
　　cos(π+α) = -cosα jBEXt  
I1Lvc^zU>  
　　tanA= sinA/cosA mQ P[_pP  
Nr,b_?@?  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα oh (73  
IS J7 i  
　　tan（π/2－α）＝cotα J0ePRIb@  
0/Yr"h3'*  
　　tan（π－α）＝－tanα 5)cu[zI  
jO\"=MwJ  
　　tan（π＋α）＝tanα /N/em  
Vx)Sm~  
万能公式 h`$a45k4  
si R1!6S}  
　　 &F+{;XX  
l:*T4J  
其它公式 EsDjsnsd  
yrO.y Kk  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Foyp3:y  
GaO$&7,  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ,KB{ G  
Dgo YY:U  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 r Dl8:Pd7o  
2k,kIm@ z  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 WN_!$=D  
v9zl;O4x  
　　对于任意非直角三角形,总有 FD1f3p^)  
w#8b75sL  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jQ-vj;B=]  
65#Y!Aq1  
　　证: oa0{nm[&  
=(8p5(  
　　A+B=π-C G">z_Jz  
aEQaE2Dg  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 2%<Y[Ui  
qngtg1khEG  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) y8#:$qMA  
U%f~eC[  
　　整理可得 -wH5J|  
]3 :(ymP  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC x(Ip qCn  
g G6GX+2  
　　得证 quGEW]I  
Lv;#P"vF:  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 .i}*{OXz  
gj M d95  
其他非重点三角函数 rw-!!d,G%  
g2{5y!"  
　　csc(a) = 1/sin(a) 4z;K 1 u l  
g[+C:10  
　　sec(a) = 1/cos(a) ">CjW t  
'Cr_VXYRP]  
　　 <, ' L&A  
p/mEtg~X#  
双曲函数 tqd][#+g  
_F$]Yi}vFK  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 a(oIB*2tf  
m<]D3DdI  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 wDv/v!  
X |qcP(v  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ue:+(f|  
mo+wX[_  
　　公式一： 8lzO7x6@  
;o0L;vMj{  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Ql:(9;N  
Tv/b;GG#k  
　　sin（2kπ＋α）= sinα |lsCcD0  
ypS!)/+)  
　　cos（2kπ＋α）= cosα iZ>Wo6/  
*Aj*N&>  
　　tan（kπ＋α）= tanα MYX_1!T  
pzj )oe  
　　cot（kπ＋α）= cotα 0ua%_NBk  
1!gU6aN  
　　公式二： 1UP?!Z}%  
IS!}Yx{%T  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： $pD.7E<3  
QG/-cMYp  
　　sin（π＋α）= -sinα Ic~![eG.  
vDI ] FT  
　　cos（π＋α）= -cosα _{hZRx  
zm<.kHZ4  
　　tan（π＋α）= tanα P-));yKL  
z_:Zoy*z  
　　cot（π＋α）= cotα /tU78Z0  
OrqXNc.J  
　　公式三： o'r\2dm  
kPfBcf&  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 7^_Q?zZZ  
j|7`kTWe'  
　　sin（-α）= -sinα O "wF3h9 y  
-v[Id{]0  
　　cos（-α）= cosα <IlX)Bo  
SIc6PA]IM  
　　tan（-α）= -tanα u,#l+:3  
"e]zOGmU3  
　　cot（-α）= -cotα .zNh8<-5  
3v^YQ_G  
　　公式四： f|+-V'/vy-  
K*h=^[>  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： @) +c(Tf  
]Iv^7 @d4  
　　sin（π-α）= sinα Cn5P @;n  
U5s^ $ye  
　　cos（π-α）= -cosα zue;zA*0  
#/#)=jd\5  
　　tan（π-α）= -tanα %g1oGbS  
/*g@MY_*U  
　　cot（π-α）= -cotα 6<~gUIy  
_% 7cagC  
　　公式五： HT[XC"{p  
RKvGkt0  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： L}3"iC{  
}ZmAnP$eEY  
　　sin（2π-α）= -sinα fr6@3jX  
*n3~?#w9  
　　cos（2π-α）= cosα M@fYJgAGI3  
;CKh.l  
　　tan（2π-α）= -tanα |:o ;5M4  
 bxjmF`  
　　cot（2π-α）= -cotα tS_PC^   
ML9em[p[  
　　公式六： RmrJ;  
J7z}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Q}agtAB  
Am]@5LP  
　　sin（π/2+α）= cosα {?#8E5d  
<,66KX  
　　cos（π/2+α）= -sinα a|~Ox9u  
pV?N!v6E  
　　tan（π/2+α）= -cotα /M.]2fk  
xM<T+[  
　　cot（π/2+α）= -tanα [F4^s|  
lu-Ej>Fe  
　　sin（π/2-α）= cosα 'A n0[.  
);:l\#i  
　　cos（π/2-α）= sinα sCO*_Mju  
i`M}Pa~@  
　　tan（π/2-α）= cotα HfhVj{h  
#IP'  
　　cot（π/2-α）= tanα E<-$f\%  
: t]a,  
　　sin（3π/2+α）= -cosα (.tY|upU  
5 p5N*   
　　cos（3π/2+α）= sinα kio5Rg&~  
>Dt$fMZ4  
　　tan（3π/2+α）= -cotα  +0|b,In^  
n"%z<5XO  
　　cot（3π/2+α）= -tanα _*`?RDwhg  
4 1O.rL  
　　sin（3π/2-α）= -cosα pl pU8f>||  
"YstB=G  
　　cos（3π/2-α）= -sinα n6TDvDUR#^  
Uz){ "H }  
　　tan（3π/2-α）= cotα G(pXJ  
=b Y|T!+")  
　　cot（3π/2-α）= tanα &kA[k"mP  
Zbs:@H  
　　(以上k∈Z) I)SXlM1>n  
(R^I02Em  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 , >F A#  
^M_Vw\9  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 2)[NY   
(K^DX  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } YbXs)> ,  
)Q-9+,Up_  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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